Intégrale de \( \cos^2 x \)

Dérivation et évaluation

Trouvez l'intégrale :

\[ \int \cos^2 x \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \) pour réécrire l'intégrale :

\[ \int \cos^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx \]

Utilisez la règle de la somme des intégrales \( \displaystyle \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \) pour réécrire l'expression :

\[ \int \cos^2 x \, dx = \dfrac{1}{2} \left( \int 1 \, dx + \int \cos(2x) \, dx \right) \]

Évaluez en utilisant les intégrales standard \( \displaystyle \int 1 \, dx = x \) et \( \displaystyle \int \cos(2x) \, dx = \dfrac{1}{2} \sin(2x) \) :

\[ = \dfrac{1}{2} \left( x + \dfrac{1}{2} \sin(2x) \right) + c \]

où \( c \) est la constante d'intégration.

En développant le facteur \( \dfrac{1}{2} \), le résultat final est donné par :